Aplicaciones de la derivada

Somos estudiantes de la
Universidad Tecnológica de Panamá - Sede Chiriquí
Facultad de Sistemas Computacionales
Lic. Redes Informáticas y Desarrollo de Software

Facilitadora:
Prof. Thania E. González M.

Estudiantes:
   Leysi Bonilla
   Carlos González
   Julio Quintero
   Yilka Rangel

Temas:
Criterio de la segunda derivada para extremos relativos
Trazado de gráfica de funciones
Problemas de optimización

Desarrollaremos estos temas pasos por paso para que puedas entender el comportamiento de la gráfica de una función utilizando la valiosa herramienta de la segunda derivada. Con esta información clara podrás resolver problemas de optimización enfocados en el área comercial.

Incluiremos un video donde explicaremos estos temas.
Esperamos que les ayude y cualquier pregunta no dude en hacerla.

Criterio de la segunda derivada para extremos relativos

Definición de Extremos

El máximo y el mínimo de una función en un intervalo son los valores extremos, o simplemente extremos, de la función en ese intervalo. El mínimo y el máximo de una función en un intervalo se llaman también el mínimo absoluto y el máximo absoluto de la función en el intervalo.

Definición de Extremos Relativos

Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es máximo, entonce f(c) se llama un máximo relativo de f.
Si existe un intervalo abierto que contiene a c y en el que f(c) es mínimo, entonces f(c) se llama un mínimo relativo de f.

Criterios de la segunda derivada

Diremos que una función es CÓNCAVA o presenta su concavidad hacia abajo cuando dados dos puntos cualesquiera el segmento que los une queda por debajo de la curva.

Análogamente, diremos que es CONVEXA o presenta su concavidad hacia arriba si dados dos puntos de la curva el segmento que los une queda por encima de la curva.

Los puntos en los que la curvatura pasa de cóncava a convexa o viceversa se llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Sea f una función tal que f'(c)=0 y cuya segunda derivada existe en todo punto de un intervalo que contiene a c.

(i) Si f”(c)<;0 → f(x) tiene un máximo relativo.
(ii) Si f”(c)>;0 → f(x) tiene un mínimo relativo.
(iii) Si f”(c)=0 → no se puede concluir si f(x) tiene máximo o mínimo.

Demostración de (i) es una tentación decir que, como f"(c)<0, f es cóncava hacia abajo cerca de c y por tanto, concluir que esto demuestra (i). Sin embargo, para asegurar que f es cóncava hacia abajo en una vecindad de c, necesitamos que f"(x)<0 en esa vecindad (no solo en c) y nada en nuestra hipótesis garantiza esto. debemos ser un poco mas cuidadosos.

Ejemplo 1:

Como el criterio de la primera derivada indica que se debe derivar la función en estudio, y dicha función es ya una función derivada, entonces, se tiene la derivada de una derivada, y de aquí que se le llame como: ‘criterio de la segunda derivada’.

De este modo, al derivar la función derivada

S’ (t) = 3 t ² – 24t + 3

Se obtiene que

S’’ (t) = 6t – 24

Al igualar a cero esta ultima derivada,

resulta que

6 t – 24 = 0

y al despejar ‘t ‘ queda

t = . 6

o sea

t = 4

que es justamente el valor de ‘t’ en donde la derivada S’ (t) tiene un valor extremo (mínimo), es decir, es el valor de ‘t’ en donde se presenta el punto de inflexión (o puntos de inflexión si ‘t’ tomara varios valores).

Para hallar la abscisa del punto de inflexión, se sustituye t = 4 en la función original

S ( t ) = t 3 – 12t² + 36t – 20

así

S (4) = (4)3 – 12 (4)² + 36 (4) – 20

o bien

S ( 4 ) = –4

Por lo que el punto de inflexión se encuentra en PI (4,–4)

Como puedes apreciar, la concavidad de la curva antes del punto de inflexión es negativa y después del punto de inflexión es positiva.

A partir de la segunda derivada de la función del problema anterior,

S’’ ( t ) = 6t – 24,

Completa la siguiente tabla.

Como puedes observar, la segunda derivada de la función antes del punto de inflexión, (t = 4), es negativa, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es negativa en ese intervalo (– ∞ < t < 4). Así también, la segunda derivada de la función después del punto de inflexión, es positiva, lo que quiere decir, que la concavidad de la curva es positiva en ese intervalo ( 4 < t< ∞ ).

Ejemplo 2:

Calcular los máximos y los mínimos de f(x) = x³- 3x² + 2

Siempre comenzamos calculando las dos primeras derivadas

f´(x)= 3x² – 6x

f”(x)= 6x - 6

Ahora igualamos la primera derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante,

f´(x) = 0 -> 3x²-6x = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado directamente

3x(x-2)= -> x = 0 -> x = 2

Por tanto, podemos afirmar que:

X = 0 x=2

Son los candidatos a ser máximos o mínimos. Esos puntos pueden que sean máximos, mínimos o no sean nada. Para decidirlo los sustituimos en la derivada segunda:

f”(2) = 6(2)-6 = > 0 6 -> x= 6 es un mínimo

f”(0)= 6(0)-6= 6 < 0 -6 -> x= -6 es un máximo

Por último, calculamos la ordenada que corresponde a cada punto sustituyéndolos en la función:

f(0) = (0)³-3(0)²+ 2 = 2

f(2) = 2³ – 3(2)² + 2 = -2

Por tanto ya podemos decir que la función f(x) tiene:

Un máximo en el punto (0,2)

Un mínimo en el punto (2,-2)
Gráfica

Problema propuesto:

Calcular los máximos y los mínimos de f(x) = x³- 9x² + 24x + 3

Siempre comenzamos calculando las dos primeras derivadas

f´(x)= 3x² – 18x + 24

f”(x)= 6x - 18

Ahora igualamos la primera derivada a cero y resolvemos la ecuación resultante,

f´(x) = 3x² + 18x + 24 = 0

f”(x)= 6x + 18

factorizar

(3x + 6)(x + 4) -> 3(x + 2) (x + 4) -> x= -2 x= -4

Por tanto, podemos afirmar que:

x = -2 x= -4

Son los candidatos a ser máximos o mínimos. Esos puntos pueden que sean máximos, mínimos o no sean nada. Para decidirlo los sustituimos en la derivada segunda:

f”(-4) = 6(-4)+ 18 = -6 < 0 -> x= -4 es un máximo

f”(-2)= 6(-2) + 18= 6 > 0 -> x= -2 es un mínimo

Por último, calculamos la ordenada que corresponde a cada punto sustituyéndolos en la función:

f(-4) = (-4)³+9(-4)² +24(-4) + 3 = -13

f(-2) = (-2)³+9(-2)² +24(-2) + 3 = -17

Por tanto ya podemos decir que la función f(x) tiene:

Un máximo en el punto (-4,-13)

Un mínimo en el punto (-2,-17)

Otro ejemplo

Calcular los máximos y mínimos por el criterio de la segunda derivada de la función f(x)= x³- 6x² + 9x

a) Calcular los números críticos.

Formula: f '(x) = 0

f '(x) = 3x² – 12 x + 9 -—> derivamos

3x² – 12x + 9 = 0 —-> igualamos a cero

3(x² – 4x + 3) = 0 ——>factorizamos

(x – 3) (x – 1) = 0 /3

x – 3 = 0 x – 1 = 0 —-> obtenemos raíces

x = 3 x = 1 —>candidatos a máx. o mín. o nada

b) Calculo de la segunda derivada.

f '' (x) = 6x – 12

c) Sustitución de los números críticos en la segunda derivada para saber si son máximos o mínimos o nada.

Si x = 1

f ''(x) = 6 (1) – 12 = 6 – 12 = - 6 < 0 (máximo).

Si x = 3

f ''(x) = 6 (3) – 12 = 18 – 12 = 6 > 0 (mínimo).

—> solo nos fijamos en los signos

d) Calculo de la ordenada que corresponda a cada punto sustituyéndolos en la función.

Si x = 1

f(x) = (1)³ – 6 (1)² + 9 (1)

= 1 – 6 + 9 = 4 —> es la ordenada

Máximo = 4 para x = 1

Si x = 3

f(x) = (3)³ – 6 (3)² + 9 (3)

= 27 – 54 + 27 = 0

Mínimo = 0 para x = 3

SOLUCIÓN:

La función f(x) tiene:

Un máximo en el punto (1, 4)

Un mínimo en el punto (3,0)

e) Gráfica:

x	-0.5	0	1	2	3	4
y	-6	0	4	2	0	4

Trazado de gráfica de funciones

Obtenga los extremos relativos de la función que se indica usando el criterio de la segunda derivada. Emplee la segunda derivada para determinar cualesquiera puntos de inflexión de la gráfica de la función y determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica correspondiente.

Ejemplo 1:

f(x) = -4x³ +3x² + 18x

f´(x)= -12x²+6x +18 =-6(x+1)(2x-3) —>derivar, factorizar

f”(x)= -24x+6 = -6(4x-1) —> segunda derivada, factorizar

f´(x)= 0 cuando (x+1)(2x-3)=0, x=-1 x=3/2

O sea que los números críticos son –1 y 3/2

Vamos a aplicar el criterio de la segunda derivada para determinar si en estos números críticos f tiene un máximo o un mínimo relativo:

f”(-1)= -24(-1)+6= 30 (positivo): f tiene un mínimo relativo

f(-1)=-4(-1)³ +3(-1)² + 18(-1) = -11 —>valor mínimo relativo

f”(3/2)= -24(3/2)+6=-30 (negativo): f tiene un máximo

f(3/2)=-4(3/2)³ +3(3/2))² + 18(3/2)= 81/4 —>valor máximo

De f”(x)= -24x+6 = -6(4x-1) =0 x=1/4 = 0.3, se deduce que f”>0 cuando x<1/4; y, f”<0 cuando x>1/4.

El punto de inflexión esta en los puntos donde la f”(x) =0 y hay un cambio de concavidad.

f(1/4)= -4(1/4)³ +3(1/4)² + 18(1/4)= 37/8 = 4.6

Punto de inflexión (1/4, 37/8)

Gráfica

Otros ejemplos:

Problemas de optimización

Es quizá la parte más importante de una teoría, es la aplicación que se hace de ella, el concepto de derivada, la hemos utilizado en la solución de varios tipos de problemas de la vida real y de economía donde se quiere conseguir el valor máximo o minimo de una cantidad que depende de la variable independiente la cual tiene restringido sus valores intervalo cerrado.

Proceso:
-Leer bien el problema
-Plantear función a optimizar
-Dejar en función de una única variable
-Hallar primera derivada
-Detectar máximos y mínimos
-Interpretar solución

Ejemplo 1

Una fábrica que elabora un producto tiene una capacidad de producción de 3.000 unidades al mes. La función de utilidad por producir y vender q unidades mensuales está dada por U(q)= -100.000 + 60.000q + 985q² - 1/3q3

Encuentre el nivel de producción que maximiza la utilidad mensual.
Solución: Tenemos que conseguir donde se alcanza el máximo absoluto de la función U en el intervalo es una función continua por ser un polinomio y queremos conseguir el máximo en un intervalo cerrado podemos aplicar el algoritmo de búsqueda dado en esta sección.

Paso 1.- Primero se calcula los valores críticos. Como la función tiene derivada en todas
partes sólo planteamos U´(q)= 0 para encontrar los valores criticos.

U´(q)= 60000 + 1970 q - q² = 0.

Las soluciones son q= -30 y q=2000 la otra se descarta por no estar en el intervalo [0, 3000]

Paso 2.- Evaluamos U en los extremos del intervalo y en el valor crítico q= 2000 .

U(0)= -100 000 + 60 000(0) + 985 (0)²- 1/3 (0)³= -100 000

U(2000)= -100 000 + 60 000(2000) + 985(2000)² - 1/3 (2000)³= 4 179 700 000/3

U(3000)= -100 000 + 60 000(3000) + 985(3000)² - 1/3 (3000)³= 4 4 900 000

Paso 3.- U(2000)= 4 179 700 000/3 es el valor máximo.

En conclusión el nivel de producción en que la utilidad es máxima es 2.000.

Ejemplo 2

Un vendedor de enciclopedias recibe, como sueldo mensual, una cantidad fija de B/. 500 más una comisión que depende del número de enciclopedias que venda según la expresión: 100x - 0.25x³ (donde x representa el número de enciclopedias)

El vendedor debe de correr con sus propios gastos, y tiene unos fijos de B/.100 mensuales más otros variables, que estima en B/. 7 por cada enciclopedia que vende. Se pide:

a) Obtén la función que recoge el sueldo mensual del vendedor.

b) Determina la función de gastos

c) Obtén la función de beneficios (sueldo menos gastos) del vendedor.

d) ¿Cuántas enciclopedias debe vender para obtener el máximo beneficio mensual? Calcula dicho beneficio.

Solución:

a) f(x) Sueldo mensual f(x)= 500 + 100x - 0.25x³

b) g(x) Gastos mensuales g(x)= 100 + 7x

c) h(x) Beneficios mensuales h(x)= f(x) - g(x)

h(x)= (500 + 100x - 0.25x³ )-(100 + 7x)

h(x)= 400 + 93x - 0.25x³

d) Para que la función h(x) alcance un máximo —> h´(x) =0

h´(x)= 93 - 0.75x² = 0 —> -0.75x² = -93 —> x² = 124

x= ± √124 = ± 2√31= ±11.14 —> ¿ máximo o mínimo?

Estudiamos la segunda derivada para conocer donde es máx. o mín.

h”(x)= -1.5x —> h”(2√31)= -1.5(2√31) < 0 Máximo

h”(x)= -1.5x —> h”(-2√31)= -1.5(-2√31) > 0 Mínimo

Calculamos el valor numérico de la función para x=11

h(x)= 400 + 93x—0.25x³ —> h(2)= 400 + 93(11) - 0.25(11)³

h(x)= 1090.25

Para obtener el máximo beneficio han de venderse mensualmente 11 enciclopedias, momento en el que el beneficio asciende a B/. 1090.25

Ejemplo 3

Un pastizal de 20 000 m² sostiene a 20 vacas.

Cada una tiene una producción diaria de 10 litros de leche.

Al introducir una nueva vaca en el pastizal el rendimiento de cada vaca baja en un litro.

¿Cuál es el número de vacas que hay que poner para tener una producción máxima de leche?

Solución:

Estamos interesados por la producción de la leche esta está dada por:

P= producción= 10(20)= 200 (sin vaca extra)

P= 9(21)= (10-1)(20+1) (al introducir una vaca)

P= (10-2)(20-2) (al introducir dos vacas)

En general si x representa el número de vacas que hemos introducido la producción P, se representa de la siguiente manera:

P(x)= (10-x)(20+x)

P(x)= 200 - 10x - x²

^{Para obtener su máximo derivamos e igualamos a cero}

P´(x)= -10 - 2x= 0 --> x= -5

P"(x)= -2 < 0

Por lo tanto, hay un máximo en x=-5, esto quiere decir que si queremos una producción máxima debemos quitar 5 vacas y no introducir alguna, veamos; si la producción de leche disminuye en un litro al introducir una vaca y aumenta en un litro al retirar una vaca , entonces quedaria 15 vacas produciendo 15 litros, con esto la producción sería de 225 litros, sin embargo, si la producción de leche por vaca no aumenta al retirar una vaca, entonces para obtener la máxima producción de leche no debemos retirar ni introducir vaca alguna.

Otros ejemplos:

Fuentes de información

Videos

http://www.youtube.com/user/julioprofe?blend=1&ob=4

http://www.youtube.com/user/asesoriasdematecom

Libros PDF

Louis Leithold, El Cálculo 7° edición

http://www.argentinawarez.com/ebooks-gratis/1346560-calculo-leithold-espanol-pdf-no-escaneado.html

Edwin J. Purcell, Cálculo 9° edición

http://odiseaspolitecnicas.wordpress.com/2009/05/23/calculo-de-purcell-9na-edicion-libro-y-solucionario-pdf/

Criterio de la segunda derivada y Trazado de la grafica

http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_CNST_2/Aplicaciones_de_las_derivadas/concavidad.htm

http://www.ciens.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/graficacion_optimizacion2011.pdf

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/aplicaciones%20de%20la%20derivada-cb.pdf

Problemas de optimización

http://132.248.87.5/areas/matematicas/calculo1/U4%20-%20Comportamiento%20gr%C3%A1fico%20y%20problemas%20de%20optimizaci%C3%B3n..pdf

http://www.aulamatematica.com/BC2/04_Optimizacion/Resueltos/09_Derivadas_BC2_APL_1VAR_Resueltos.pdf

martes, 25 de octubre de 2011